Modul Hiperbola [PDF]

Citation preview

1



Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. 1.1. Unsur-Unsur Hiperbola Y



b y x a



y



b x a



T (x,y) ( 0,b )



.



(- a,0 )



( a,0 )



F2 ( -c,0) O



. F1 ( c,0)



X



( 0, -b )



Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F 1 & F2 adalah fokus hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.



1.2. Persamaan Hiperbola A. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 ) 1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :



b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 atau



x2 y2  1 a2 b2



Dengan : -



Pusat ( 0,0 )



-



Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )



-



Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y  



b x a



2



-



Persamaan direktriks : x  



-



Eksentrisitas: e 



-



Panjang lactus rectum 



-



c2  a 2  b2



a2 c



c a 2b 2 a



2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :



b 2 y 2  a 2 x 2  a 2b 2 atau



y2 x2  1 a 2 b2



Dengan : -



Pusat ( 0,0 )



-



Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )



-



Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y  



a x b



-



Persamaan direktriks : y  



a2 c



Contoh 1 : x2 y 2 Diketahui persamaan hiperbola   1 , tentukan : 36 25 a. Koordinat titik puncak b. Koordinat titik fokus c. Persamaan asimptot d. Persamaan direktriks e. Eksentrisitas f. Panjang lactus rectum Jawab :



x2 y2 Dari persamaan hiperbola   1 , diperoleh a2=16, maka a=4 dan a2=9, maka a=3 16 9 c  a 2  b 2  42  32  16  9  25  5 a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0) b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )



3 c. persamaan asimptot : y  



b 3 x x a 4



d. persamaan direktriks : x  



a2 42 16 1      3 c 5 5 5



e. eksentrisitas : e 



c 5  a 4



f. panjang lactus rectum 



2b 2 2.32 9 1   4 a 4 2 2



Contoh 2 : Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) & (0,-5). Jawab : Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5. b  c 2  a 2  52  32  25  9  16  4 Jadi persamaan hiperbolanya adalah



y2 x2 y2 x2 y2 x2   1    1   1 a 2 b2 32 42 9 16



B. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β ) 1.



Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :



 x   a2



2



 y 



2



b2



1



Dengan : -



Pusat ( α,β )



-



Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β )



-



Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y    



-



a2 Persamaan direktriks : x    c



b  x   a



4 2.



Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :



 y



 x   



2



a2



2



1



b2



Dengan : -



Pusat ( α,β )



-



Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c )



-



Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y    



-



Persamaan direktriks : y   



a  x   b



a2 c



Contoh 3 : Diketahui persamaan hiperbola 4 x 2  3 y 2  24 x  18 y  27  0 . Tentukan: a. koordinat titik pusat b. koordinat titik puncak c. koordinat titik fokus d. persamaan asimptot e. persamaan direktriks Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku



 x   a2



2



 y 



2



1



b2



4 x 2  3 y 2  24 x  18 y  27  0 4 x 2  24 x  3 y 2  18 y  27 4  x 2  6 x   3  y 2  6 y   27







 







4  x  3  32  3  y  3  32  27 2







2



 







4  x  3  9  3  y  3  9  27 2



2



4  x  3  36  3  y  3  27  27 2



2



4  x  3  3  y  3  27  27  36 2



2



5 4  x  3  3  y  3  36 2



2



4  x  3  3  y  3  36 2



 x  3 9



2



2



 y  3  12



2



1



Dari persamaan diatas, diperoleh   3 dan   3 , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka b= 2 3 , c  a 2  b2  9  12  21 a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3) b. Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3) c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ 21 , 3 ) d. Persamaan asimptot : y    



b 2 3  x    y  3    x  3 a 3



a2 32 9 3  x  3   x  3   x  3  21 e. Persamaan direktriks : x    c 7 21 21 f. LATIHAN SOAL ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut x2 y 2 a.  1 144 25 Jawab :



b. 9 x 2  4 y 2  36 Jawab :



6



c.



 y  2 16



2



 x  1  4



2



1



Jawab :



d.



4 x 2  9 y 2  8 x  18 y  41  0



Jawab :



2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi ketentuan berikut : a. Titik fokus : (8,0) dan (-8,0); titik puncak (6,0) dan (-6,0) Jawab :



b. Titik fokus : (3,0) dan (-3,0); persamaan



7 asimptot y  2 x . Jawab :



c. Titik puncak : (6,0) dan (-6,0); persamaan 1 asimptot y   x 2 Jawab :



SOAL TES FORMATIF ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut :



x2  y  6  1 4 8 2



a.



Jawab :



b.



 x  5 20



2



 y  3  16



2



 1



8



c. 4 x 2  y 2  56 x  2 y  191  0 Jawab :



d. 4 y 2  9 x 2  16 y  18 x  29  0 Jawab :



9



2. Tentukan persamaan hiperbola, jika diketahui hal-hal berikut ini : a. Pusat (3,-5); puncak di (7,5) dan fokusnya di (8,-5) Jawab :



b. Pusat (-2,-1);salah satu fokusnya di titik (-2,14) dan direktriksnya pada garis 5y = -53 Jawab :



10