Manova [PDF]

Citation preview

6 MANOVA PIKA SILVIANTI



Seringkali, lebih dari dua populasi perlu dibandingkan…



Populasi 1 : 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 Populasi 2 : 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 ⋮ Populasi g : 𝑋g , 𝑋g , … , 𝑋g g



terdapat tiga asumsi dasar yang diperlukan oleh sekumpulan sampel acak di atas, yaitu:



1. 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋



, (l = 1, 2, … ,g) adalah sampel acak berukuran 𝑛 dari suatu populasi



dengan rata - rata 𝜇 . 2. Matriks kovariansi antara g populasi sama. 3. Setiap populasi adalah normal multivariat.



1. Uji Homogenitas Matriks • Hipotesis H : ∑ = ∑ = ⋯ = ∑g = ∑ dan H : ada paling sedikit satu diantara sepasang ∑ yang tidak sama.



• Hitung 𝑆 = • 𝑀=∑



• 𝐶



g



=1−



∑



g



𝑛 −1 𝑆



𝑛 − 1 ln 𝑆 − ∑



g



∑



g



g



dengan 𝑛 − 1 ln 𝑆



− g ∑



𝑁=∑



g



𝑛 −g



1. Uji Homogenitas Matriks (lanjutan) • Statistik Uji • Kriteria Keputusan H ditolak jika 𝑀𝐶



>𝜒



g



(𝛼) dan H diterima jika 𝑀𝐶



≤𝜒



g



(𝛼)



2. Uji Kenormalan Multivariat • Hipotesis H : Data berdistribusi normal multivariat dan H : Data tidak berdistribusi normal multivariat pemeriksaan distribusi normal multivariat dapat dilakukan pada setiap populasi dengan cara membuat q-q plot atau scatter-plot dari nilai 𝑑 = 𝑋 − 𝑋 𝑆



𝑋 − 𝑋 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.



Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson & Wichern, 2002: 187) a) Mulai b) Tentukan nilai vektor rata-rata: 𝑋 c) Tentukan nilai matriks varians-kovarians: 𝑆 d) Tentukan nilai jarak mahalanobis atau kuadrat general setiap titik pengamatan dengan vektor rata-ratanya 𝑑 = 𝑋 − 𝑋 𝑆



𝑋 − 𝑋 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.



2. Uji Kenormalan Multivariat (lanjutan) a) Urutkan nilai 𝑑



⚪



dari kecil ke besar: 𝑑(



b) Tentukan nilai 𝑝 =



⁄



)



≤ 𝑑(



)



≤ 𝑑(



)



≤ ⋯ ≤ 𝑑( ) .



, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.



c) Tentukan nilai 𝑞 sedemikian hingga ∫



𝑓 𝜒 𝑑 𝜒 = 𝑝 atau 𝑞 , 𝑝 = 𝜒



𝑛 − 𝑖 + ⁄ ⁄𝑛 .



d) Buat scatter-plot 𝑑( ) dengan 𝑞 e) Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50% nilai 𝑑 ≤ 𝜒 0,50 , maka H diterima artinya data berdistribusi normal multivariat. f) Selesai



One-Way MANOVA



Model One-Way MANOVA



,



• dengan 𝑙 = 1, 2, … , g, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 dan • 𝜀 adalah galat yang diasumsikan bebas dan berdistribusi Np 0, ∑ untuk data multivariat.



• Hipotesis Ho : 𝜏 = 𝜏 = ⋯ = 𝜏 = ⋯ = 𝜏 = 0 vs H1 : minimal ada 𝜏 ≠ 0 𝜇 , dengan 𝜏 = ⋮ 𝜇 Sumber Keragaman Perlakuan



Galat (sisa)



total



dan 𝑙 = 1,2, … , g. Matriks jumlah dari kuadrat dan hasil kali g 𝐵=



𝑛 𝑥̅ − 𝑥̅ 𝑥̅ − 𝑥̅



g



g–1 g



𝑊=



𝑥 − 𝑥̅



𝑛 −g



𝑥 − 𝑥̅



g 𝐵+𝑊 =



Derajat kebebasan



g 𝑥 − 𝑥̅ 𝑥 − 𝑥̅



𝑛 −1



• Statistik Uji ∗



g



W



Λ =



=



𝑥



−𝑥



𝑥



−𝑥



𝑥



−𝑥



𝑥



−𝑥



g



W+B



• Kriteria Keputusan Variabel



Grup



p=1



g ≥2



p=2



g ≥2



p ≥1



g =2



p ≥1



g =3



Distribusi sampling untuk data normal multivariat ∑



∑



g



𝑛 −g g– 1



𝑛 −g−1 g– 1 ∑



∑



g



g



g



1 − Λ∗



𝑛 −𝑝−1 𝑝



𝑛 −𝑝−2 𝑝



1 − Λ∗ ~Fg Λ∗



Λ∗



~F g



1 − Λ∗ ~F Λ∗ 1 − Λ∗ Λ∗



~F



g



,



, (∑



g



)



,∑



,



2(∑



)



Ilustrasi: Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui perbedaan



a. Tuliskan model liniernya beserta keterangan yang jelas.



tiga varietas jagung. Data respon yang diambil antara lain Y1 = Produksi per hektar, dan Y2 = bobot/1000 butir.



b. Hitunglah vektor rataan untuk setiap perlakuan c. Hitunglah matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang dari perlakuan (B), galat (W), dan Total



Rancangan lingkungan yang digunakan adalah rancangan acak lengkap. Datanya diperoleh sebagai berikut :



(T) d. Lakukan pengujian pada taraf nyata 5% untuk mengetahui apakah ketiga varietas memiliki



Perlakuan



Varietas 1



Varietas 2



Varietas 3



Ulangan



Y1



Y2



1



6



7



2



5



9



1



4



6



2



6



6



3



4



7



1



5



4



2



6



4



respon yang berbeda. Gunakan Uji Wilks Lambda. e. Apa kesimpulan anda?



c. Matriks Jumlah Kuadrat



a. Model linear: 𝑦 =𝜇+𝜏 +𝜀



𝐁= ; l = 1,2,3 ; j = 1,2,…,nl keterangan: 𝑦 = respon varietas ke l ulangan ke j



𝑛 𝐗 −𝐗 𝐗 −𝐗 ′



=2



5,5 − 5,14 8 − 6,14



+3



4,67 − 5,14 6,33 − 6,14



𝜇 = vektor rataan umum 𝜏



= pengaruh varietas ke l



𝜀 = pengaruh acak varietas ke l ulangan ke j



+



2



=2



0,36 1,86



+2



0,36 −2,14



b. Vektor Rataan 4,67 5,5 5,5 𝑥 = ; 𝑥 = ; 𝑥 = 6,33 8 4 𝑥=



5,14 6,14



5,5 − 5,14 4 − 6,14



=



5,5 − 5,14 8 − 6,14 4,67 − 5,14 6,33 − 6,14 5,5 − 5,14 4 − 6,14



0,36 1,86 + 3 0,36 −2,14



1,1811 −0,4695 −0,4695 16,1867



−0,47 0,19



−0,47 0,19



𝐖=∑ =



∑



6 − 5,5 7−8



𝐗 −𝐗 𝐗 −𝐗 ′ 6 − 5,5 7 − 8 +



5 − 5,5 9−8



5 − 5,5 9 − 8



+



4 − 4,67 6 − 6,33



4 − 4,67 6 − 6,33 +



6 − 4,67 6 − 6,33



+



4 − 4,67 7 − 6,33



4 − 4,67 7 − 6,33 +



5 − 5,5 4−4



+



6 − 5,5 4−4



6 − 4,67 6 − 6,33 4−4



6 − 5,5 4 − 4 0,4489 0,2211 −0,5 + 0,2211 0,1089 1



=



0,25 −0,5 0,25 + −0,5 1 −0,5



+



1,7689 −0,4389 0,4489 −0,4489 + −0,4389 0,1089 −0,4489 0,4489



+



0,25 0 0,25 0 + 0 0 0 0



=



3,6667 −1,6667 1,1811 −0,4695 + −1,6667 2,6667 −0,4695 16,1867



=



3,6667 −1,6667 −1,6667 2,6667



=



4,8478 −2,1362 −2,1362 18,8534



𝐓=



𝐗 −𝐗 𝐗 −𝐗 =𝐖+𝐁



Sehingga diperoleh :



d. Hipotesis H0 : 𝜏 = 𝜏 = 𝜏 =0 vs H1 : minimal ada satu 𝜏 ≠ 0



7 − 2 − 2 1 − 0,081 = 3,7704 2 0,081 dan



Statistik Uji :



𝐹



;



∗ , ∗ ∗



e. Kesimpulan



, ,



,



,



Karena



, ,



,



𝐹



;



∑



∗



∑ ∗



(𝛼) = 4,5337



,



= 3,7704