Ringkasan Statistika Sma1 [PDF]

Citation preview

Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



BAB I STATISTIKA A. PENGERTIAN DASAR STATISTIKA 1. Statistika dan Statistik Statistika adalah ilmu tentang pengolahan dan analisis suatu data hingga penarikan kesimpulan dari data itu. Statistik adalah hasil pengolahan dan analisis dari data itu. 2. Data dan Datum Data adalah sekumpulan informasi dari suatu pengamatan. Informasi dari pengamatan itu dapat berupa angka-angka (seperti misalnya: nilai siswa, tinggi siswa, berat badan siswa), maupun bukan angka (seperti misal data profesi:dokter, guru, perawat, pengacara, dsb) Datum adalah elemen-elemen dalam data. Misalnya data tinggi badan (dalam cm) 5 orang siswa ialah 167, 154, 152, 176, 160. Maka 167 , 154 , 152 , 176 , 160. Datum



Datum



Datum



Datum



Datum



Data Datum biasanya dilambangkan dengan X (datum harus diurutkan dulu jika akan diolah). 3. Ukuran data adalah banyaknya datum pada data tersebut. Ukuran data biasanya dinotasikan oleh n. Pada data tinggi badan di atas, maka ukuran datanya adalah 5 (karena banyak datumnya adalah 5) atau bisa juga ditulis n = 5. 4. Jenis-jenis Data a. Data kuantitatif, hasil mengukur atau menghitung. Data kuantitatif yang diperoleh dengan mencacah disebut data tercacah (data diskrit) sedangkan data yang diperoleh dengan cara mengukur disebut data ukuran (data kontinu). b. Data kualitatif, menyatakan keadaan atau karakteristik objek (biasanya tidak dituliskan dalam bentuk bilangan). 5. Populasi dan Sampel Populasi adalah semua obyek yang akan diteliti (semesta pembicaraan). Sampel adalah sebagian populasi yang benar-benar diambil datanya dan dibuat statistiknya. B.



PENYAJIAN DATA 1. Diagram Batang Pada diagram batang, terdapat batang berbentuk persegi panjang yang menggambarkan nilai pengamatan dan frekuensinya. Tinggi/panjang batangnya menyatakan besar frekuensi dari pengamatan yang digambarkannya. Diagram batang menggambarkan data yang telah tersaji dalam tabel frekuensi. Contoh: Hasil penjualan sebuah pabrik disajikan pada tabel di bawah ini. Daerah pemasaran



Jakarta



Tangerang



Bekasi



Bogor



1



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Jumlah yang terjual



27783



7862



2238



3283



Gambarlah diagram batang dari data yang disajikan pada tabel di atas! Jawab: Diagram batangnya:



2. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran sangat berguna untuk menunjukkan dan membandingkan proporsi dari data. Untuk menyajikan data dalam diagram lingkaran haruslah ditentukan besar sudutnya dulu. Contoh: Buatlah diagram lingkaran dari data berikut: Data berikut ini menyatakan informasi mengenai banyaknya siswa kelas XI IPS4 yang mengikuti ekstrakurikuler di SMA Tarata 6. Ekstrakurikuler Banyak siswa



Basket 4



Majalah 2



Teater 12



Softball 4



Art 8



Jawab: Besar sudutnya: 4 × 360° = 48° 30 12 × 360° = 144° *Teater ⇒ 30 8 × 360° = 96° * Art ⇒ 30



* Basket ⇒



2 × 360° = 24° 30 4 × 360° = 48° * Softball ⇒ 30



* Majalah ⇒



Diagram lingkarannya:



2



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Banyak siswa Basket Majalah Teater Softball Art



3. Diagram Garis Diagram garis paling sering digunakan untuk menunjukkan perubahan sepanjang periode tertentu. Contoh diagram garis: Data berikut merupakan data pendapatan bersih sebuah minimarket dari bulan Januari-Juni Waktu (bulan) Pendapatan Bersih (Jutaan Rupiah)



Januari 8



Februari 9



Maret 19



April 17



Mei 15



Juni 22



Diagram garisnya:



Pendapatan bersih



Bulan



4. Diagram Kotak Garis Diagram kotak garis merupakan bentuk visual dari statistik lima serangkai. Diagram kotak garis:



3



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Q1



Q2



Q3



xmin



xmaks



5. Diagram Batang daun Diagram batang daun ini menunjukkan sebaran data secara rapi. Diagram batang daun juga dapat digunakan untuk membandingkan dua kumpulan data dan disebut diagram batang daun bersama. Contoh 1: Data berikut ini adalah data berat badan beberapa siswa kelas X (dalam kg) 49, 43, 49, 61, 62, 53, 47, 49, 54, 59, 61, 24, 33, 23, 35 Buatlah diagram batang daun dari data tersebut. Jawab: Data di atas dapat disajikan dalam diagram batang daun seperti berikut:



2



Berat badan siswa beberapa siswa kelas X 2| 3 artinya 23 3 4



(2)



3



3



5



(2)



4



3



7



9



5



3



4



9



(3)



6



1



1



2



(3)



C.



TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal Contoh 1 Data berikut merupakan data yang diperoleh dari pencatatan banyak sepatu yang dimiliki siswa kelas XI Analis dan Keperawatan (diambil sampel sebanyak 40 siswa): 2 4 6 7



2 5 6 7



9



3 5 6 7



3 5 6 7



9



3 5 6 7



(5)



3 5 6 7



4 5 6 8



4 5 6 8



4 5 6 8



4 6 6 8



Buatlah Tabel Distribusi Frekuensi tunggal untuk data tersebut.



4



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Jawab: Tabel distribusi frekuensi tunggal Banyak sepatu yang dimiliki siswa (xi)



Turus



Banyak siswa (Frekuensi)



2 3 4 5 6 7 8



fi



∑f



i



= 40



2. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok Langkah-langkahnya : a. Urutkan data (data yang telah urut disebut statistik jajaran). Kemudian cari Jangkauan J = xmax − xmin b. Hitung banyak kelas (k) dengan aturan K = 1 + 3,3 log n (n banyak data, log n dilihat di tabel). Bulatkan hasilnya ke atas. c. Cari Panjang Kelas dengan rumus: P = J/K (bulatkan ke atas) d. Pilih batas bawah kelas pertama e. Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompoknya. ISTILAH : 1. Kelas Data dikelompokkan dalam kelas-kelas. 2. Banyaknya kelas adalah banyaknya kelompok dalam tabel. 3. Batas Kelas yaitu nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas (ada Batas bawah, ada Batas atas). Batas bawah adalah nilai ujung bawah (nilai terkecil dari kelas). Batas atas adalah nilai ujung atas (nilai terbesar dari kelas). 4. Tepi Kelas Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Tepi atas = batas atas + 0,5 5. Panjang Kelas /Interval Kelas / Lebar Kelas = tepi atas – tepi bawah 6. Titik Tengah Kelas / Nilai Tengah Kelas atau Rataan Kelas. Titik Tengah =



1 (batas bawah + batas atas ) 2



Contoh 1: Suatu data diperoleh dari 40 kali pengukuran (dalam mm) sebagai berikut: 157 149 125 144 132 156 164 138 144 152 148 136 147 140 158 146 165 154 119 163 176 138 126 168 135 140 153 135 147 142



5



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



173 146 162 145 135 142 150 150 145 128 Tabel distribusi frekuensi berkelompok Hasil Pengukuran 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181



Tepi bawah



Tepi atas



Titik Tengah (xi)



Frekuensi (fi)



∑ f i = 40



Total



3. MENYUSUN TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF Ada dua macam tabel distribusi frekuensi kumulatif yang dikenal, yaitu a. tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari), didefinisikan sebagai jumlah frekuensi semua nilai datum yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada tiap-tiap kelas (dilambangkan dengan “ fk≤ ”). b. tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari (fk lebih dari), didefinisikan sebagai jumlah frekuensi semua nilai datum yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada tiap-tiap kelas (dilambangkan dengan “ fk ≥ ”). LATIHAN 2: Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan lengkap dan jelas! 1. Berikut ini merupakan data hasil penjualan televisi merk “Q-suka” (dalam unit) di sebuah toko elektronik selama beberapa waktu: 80 76 76 87 77 89 77 77 90 77 94 78 79 87 79 79 92 93 90 80 79 91 80 91 81 83 82 90 83 84 85 86 81 87 89 92 89 95 93 91 Buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok, tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari! 2. Data berikut ini menunjukkan nilai yang diperoleh 40 siswa pada ujian matematika. 60 80 50 40 30 60 60 70 70 50 60 70 90 50 70 50 80 50 50 70 50 70 50 80 40 60 70 80 50 80 60 60 70 50 40 60 50 40 60 60 Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari! c. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram Histogram merupakan suatu daftar distibusi frekuensi yang disajikan dalam bentuk diagram. Histogram dibangun oleh persegi panjang dengan lebar yang saling berimpit. Dalam histogram setiap kelas diwakili oleh satu persegi panjang yang lebarnya menunjukkan panjang kelas, tingginya menunjukkan frekuensi kelas. Dalam membuat histogram digunakan tepi bawah dan tepi atas kelas. Contoh: Perhatikan dan lengkapilah tabel berikut: Hasil Pengukuran 119 – 127 128 – 136



Tepi bawah



Tepi atas



Titik Tengah (xi)



Frekuensi (fi)



6



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181 ∑ f i = 40



Total



Poligon Frekuensi adalah suatu garis-garis patah yang menghubungkan setiap titik tengah atas persegi panjang histogram. d. Ogif/Ogive (Kurva Frekuensi Kumulatif) Kurva frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogive positif sedangkan kurva frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogive negatif. D.



UKURAN PEMUSATAN DATA 1. MEAN (RATAAN) adalah rata-rata atau rerata nilai data (lambang mean, yaitu a. Data Tunggal n x + x + ......+ xn x ∑ 1 2 i atau x= n x = i =n1 Keterangan : x = rata-rata,



x



)



n



x1 + x2 + x3 + . . . + xn = ∑ xi = jumlah dari seluruh nilai datum, i =1 n = banyaknya datum = ukuran data Contoh: Tentukan mean dari data berikut: a. 65, 78, 85, 56, 98, 76, 98, 60, 77, 74, 90, 84 b. 2, 5, 8, 2, 1, 5, 3, 8, 12, 12, 15, 4, 9, 15, 2, 9, 4, 6, 8, 2, b. Data Berkelompok Ada 2 cara : a. Nilai Tengah :



n ∑ fi.xi x = i=1n ∑f i=1 i



keterangan: x = mean/ rataan, fi =frekuensi ke-i, i= 1, 2, . . . , n



n = ukuran data, xi =datum ke-i



b. Metode Rataan Sementara :



fi.di x = xs + ∑ ∑fi



Keterangan: d =x −xs i i



di mana



xs



diambil dari nilai tengah kelas yang frekuensinya terbesar



2. MODUS (Mo) a. Data Tunggal



7



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Modus dari data x1, x2, x3, ....,xn didefinisikan sebagai nilai datum yang paling sering muncul (nilai datum yang memiliki frekuensi terbesar). Contoh : Tentukan modus dari data berikut: a. 2, 4, 1, 5, 7, 1, 8, 9 , 1 , 1 0 , 9 , 1 , 2, 1 b. 2, 3, 4, 1, 2, 4, 5, 9, 4, c. 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 8 b. Data Berkelompok  d  1 .p d + d   1 2



Mo =L + 



dimana : L = tepi bawah kelas modus (memiliki frekuensi tertinggi) p = interval kelas d1=selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya 3. MEDIAN/NILAI TENGAH (me) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian yang sama banyak. Syarat data harus diurutkan dari terkecil hingga terbesar. a. Data Tunggal Perhatikan ukuran datanya (ganjil atau genap)! Contoh: Tentukan median dari data berikut: a. Ukuran data ganjil • 24, 23, 26, 24, 23, 26, 24, 25, 22, 25, 26, 25, 21 • 143, 135, 120, 148, 125, 140, 121, 135, 140 • 1, 9, 10, 8, 5, 8, 1, 5, 6, 5, 6, 9, 1, 3, 5, 6, 5 b. Ukuran data genap • 20, 21, 25, 24, 23, 22, 24, 22, 25, 25, 26, 25 • 143, 135, 120, 125, 140, 121, 135, 140 • 10, 8, 5, 8, 1, 5, 6, 5, 6, 9, 1, 3, 5, 6 b. Data Berkelompok Q



2



=L



2



 1n − (∑f )  2 p + 2   f 2  



Keterangan: Me = Q2 = median = Kuartil Tengah L2 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah Q2 p = interval kelas (∑f)2 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q2 f2 = frekuensi kelas Q2 n = ukuran data E. UKURAN PENYEBARAN DATA Data Tunggal 1. Kuartil



8



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Kuartil adalah datum yang membagi data terurut menjadi 4 bagian. Untuk membagi data menjadi empat bagian yang sama besar diperlukan 3 sekat (Q1, Q2, Q3). Lambang kuartil, yaitu Qi (kuartil ke – i, dengan i = 1, 2, 3). Carilah Q2 terlebih dulu untuk mencari Q1 dan Q3. Q1 x1



Q2



Q3



x2



xn-1 xn



Data telah urut



a. Untuk Q1 (kuartil pertama atau kuartil bawah): Q1 disebut kuartil pertama atau kuartil bawah. Sebanyak 25% data bernilai ≤ Q1. b. Untuk Q2 (kuartil kedua atau kuartil tengah) Q2 disebut kuartil kedua atau kuartil tengah. Sebanyak 50 % data bernilai ≤ Q2. Q2 = Median c. Untuk Q3 (kuartil ketiga atau kuartil atas): Q3 disebut kuartil ketiga atau kuartil atas. Sebanyak 75 % data bernilai ≤ Q3. Contoh: Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut: a. 20, 21, b. 1, 9,



25, 24, 23, 22, 10, 8, 5, 8, 1, 5,



24, 6, 5,



22, 25, 25, 6, 9, 1, 3, 5,



26, 6,



25 5



2. Desil Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Untuk membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar diperlukan 9 sekat (D1, D2, D3, …, D9). Lambang desil, yaitu Di (desil ke – i, dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 x1 Data telah urut Langkah-langkah dalam mencari nilai Desil ke-i: 1. Menentukan urutan / letak Desil ke- i =



xn



i(n + 1) 10



dengan i = 1, 2, . . . , 9 dan n adalah ukuran data, 2. Mentukan nilai Desil ke- i: i(n + 1)



•



Jika hasil perhitungan



•



Jika hasil perhitungan



merupakan bilangan bulat maka Di = xi.



10 i(n + 1)



10



bukan bilangan bulat, tapi terletak antara bilangan



bulat (datumnya) r dan r + 1, maka nilai Di



 i(n + 1)



= x + r 



10



(



)



 −x .  r +1 r



− r x



Keterangan: i = urutan datum n = ukuran data Di = desil ke - i xi = datum ke – i



9



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



Contoh: Tentukan nilai D1, D4, D5, D7, D9 dari data berikut: 20, 21, 25, 24, 23, 22, 24, 22,



25,



3. Jangkauan Antar Kuartil(JAK)/Hamparan (H) 4. Simpangan Kuartil/ Jangkauan Semi Q



25,



26,



25



H = Q3 – Q1 Antar Kuartil



(JSAK):



= 1 H = 1(Q −Q ) 1 d 3 2 2



1 n 5. Simpangan rata-rata/ SR : SR = n ∑ xi − x i=1 dengan xi adalah nilai datum ke- i (i = 1, 2, 3, … , n ) x = rataan hitung, dan n adalah ukuran data. 6. Ragam /Variansi dan Simpangan Baku (S) 2 1 n • Ragam /Variansi : S = n ∑ (xi − x)2 i=1 • Simpangan Baku (S) adalah Akar kuadrat dari Ragam ! Jadi Simpangan Baku : S = S2 Data Berkelompok 1. Kuartil  i n −(∑f )  i p Q =L +  4 i i f   i  



Keterangan: i = 1, 2, 3 Qi = Kuartil ke-i Li = tepi bawah kelas yang memuat kuartil ke-i (∑f)i = jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i fi = frekuensi kelas yang memuat kuartil ke-i n = ukuran data p = panjang kelas 2. Desil D



i



=L



i



 i n −( ∑f )  i +10 f i  



  p  



Keterangan: i = 1,2,3, …, 9 Di = desil ke-i Li = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i (∑f)i = jumlah frekuensi sebelum desil ke-i fi = frekuensi kelas yang memuat desil ke-i n = ukuran data p = panjang kelas



10



Ringkasan Statistika Kelas XII SMK AR-RAIHAN



SR =



3. Simpangan rata-rata/ SR



1 n ∑ fi xi − x n i=1



dengan xi adalah nilai datum ke- i (i = 1, 2, 3, … , n ), ke-i, i= 1, 2, . . . , n, dan n adalah ukuran data.



x



= rataan hitung, fi = frekuensi



4.



Ragam (S2) dan Simpangan Baku (S) dari data sampel



•



Ragam (S2) :



•



Simpangan baku



S



2



=



1 r



(



∑ f i xi − x



n i=1



S =



)



2



S2



11